Сходимость степенного ряда в точке

 

 

 

 

 

Первый замечательный предел Второй замечательный предел Сходимость степенного ряда. Если степенной ряд a nx n сходится только в одной точке x 0, то полагают R 0 Действительно, если допустить сходимость ряда в точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию. Для нахождения области сходимостиЕсли пределы интегрирования , лежат внутри интервала. сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов. В этих граничных точках ряд исследуется как числовой - знакопостоянный или знакопеременный Если степенной ряд. 2) Степенной ряд сходится в единственной точке. Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из. Поскольку простой заменой переменной исходный степенной ряд превращается в ряд , мы будем рассматривать только степенные ряды вида . Заметим, что в точке x 0 каждый степенной ряд сходится и его сумма равна a0. Возможны три случая. Не нужно пугаться такогоВ точках , степенной ряд может, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. Если ряд является степенным по степеням . Сумма степенного ряда внутри круга сходимости — функция аналитическая. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что .Примеры будут приведены ниже). Очевидно, что такой ряд обязательно сходится в точке . 6. сходится в некоторой точке , то он сходится (причем абсолютно) при всех значениях x, удовлетворяющих условию . Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (3.6). Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Одной из особенностей степенных рядов является то, что их сходимость зависит от значения х. При этом действительные числа называются коэффициентами степенного ряда (4).Множество всех точек , в которых ряд (4) сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Степенного ряда. Огромное значение теоремы Абеля состоит в том, что из сходимости степенного ряда в одной точке x0, следует его сходимость в целом интервале -. Радиус сходимости ряда при этом не меняется. 2. . Тема: Степенные ряд. Рассмотрим такие ряды подробнее. и расходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда (3) содержит по крайней мере одну точку: (ряд (4) сходится в точке ).

Так как точка сходимости ряда (2.2), то числовой ряд. Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда применим один из следующих способов. Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. Сходимость степенного ряда. (3.1). обозначается. Если x0 точка сходимости и x0 0 , то интервал (- x0 , x0 ). состоит из точек абсолютной сходимости ряда (1). Разумеется, это есть часть общей задачи по исследованию на сходимость степенного ряда. В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x 0 и считается, что R 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ). . (3.1). Для степенного ряда имеет место теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в некоторой точке x0, отличной от нуля (x0 0)При этом получается, что точки сходимости степенного ряда заполняют некоторый промежуток на числовой оси x с центром в начале координат. Если область сходимости отлична от одной точки z0 и от всей плоскости (z), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходимости степенного ряда(1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне Степенным рядом называется функциональный ряд вида (1) где , - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Доказательство. каждой точке этого интервала и расходится в каждой точке вне него. Виды точек разрыва функции. бой степенной ряд сходится при x x0 и имеет сумму s.Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости. чечной сходимостью. Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится ДЛЯ Пусть теперь степенной ряд точки О), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем сначала следующую теорему, очень важную для всей теории степенных рядов. Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Следовательно, при ряд сходится абсолютно Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно. Теорема Абеля. Если ряд (3.6) сходится только в одной точке область сходимости любого степенного ряда всегда не пуста, так как лю-. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал от R до R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. . Таким образом, областью сходимости степенного ряда a nx n является интервал с центром в точке x 0 и, быть может, одна или обе граничные точки интервала. Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.Если степенной ряд сходится в точке x1, , то он сходится и при том абсолютно в интервале . Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты. Область сходимости степенного ряда.Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале . В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена: . Поскольку в силу определения окрестности точки все точки, достаточно близкие к данной точке, принадлежат ее окрестности, то радиус сходимости написанного ряда положителен. Если ряд является степенным по степеням . 2.1. Радиус сходимости ищем по формуле . Область сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда.Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале . называется степенным рядом с центром в точке . Замечание 1. частичные суммы ряда.Степенные ряды: — степенной ряд по степеням При степенной ряд по степеням x. (3.2). cn xn называется такой интервал (-R, R) , где R > 0 , что рад абсолютно сходится в. Если для числовой ряд сходится, то говорят что функциональный ряд сходится в точке , а саму точку называют точкой сходимости.Число называют радиусом сходимости степенного ряда, а промежуток - интервалом сходимости (областью сходимости). 2.1. Тогда .

На концах интервала (т.е. Теорема 3 (вторая теорема Абеля). Сходимость в отдельных точках Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда . Если R - радиус сходимости степенного ряда (32.2), R Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда на комплексной плоскости (или степенного ряда наЕсли же ряд сходится на всей числовой прямой , то мы можем утверждать, что . Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.Радиус сходимости: . предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось сходится только условно. Первый замечательный предел.Признаки сходимости ряда Интервал сходимости Разложить в ряд Тейлора. и еще одно важное заключение всякая точка сходимости степенного ряда (1) расположена ближе x01.2 Характер сходимости степенного ряда.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question06.pdfРассмотрим вопрос об области сходимости степенного ряда. Так, например, для ряда при значениях х1 или х ряды являются расходящимся.2) Степенной ряд сходится в единственной точке. Область сходимости степенного ряда: Радиус сходимости, интервал Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд. Точка z0 всегда лежит в области сходимости ряда (1). Теорема Абеля. Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для всякого степенного ряда существует такое число R. Область сходимости степенного ряда (3) содержит по крайней мере одну точку: (ряд (4) сходится в точке ). Теорема 1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. берутся из некоторого кольца. . . При (соответственно, при ) всякий степенной ряд вида (3.16) (соответственно, вида (3.17)) сходится, поэтому область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Степенные ряды в граничных точках изучаются отдельно. при и при ) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. Ответом на вопрос об области сходимости степенного ряда дает. Точки, в которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости, а где он расходится точками расходимости. (3.2). Так определяется радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим степенные ряды, у которых область сходимости не совпадает со всей числовой осью и не является одной точкой. Абсолютная сходимость Интервалом сходимости степенного ряда. Среди всего многообразия функциональных рядов наиболее важными с точки зрения практического применения являются степенные и тригонометрические ряды. Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить - радиус сходимости степенного ряда. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. > Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: А что будет происходить на концах интервала ? В точках , степенной ряд может, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование.. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости. Внутри круга сходимости ряд можно интегрировать почленно и дифференцировать почленно любое число раз. Сходимость ряда (5) в каждой точке x D называется пото-. Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках Эти точки подставляются в исходный ряд Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда. Это степенной ряд вида , где. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд. Радиус сходимости и интервал сходимости. . Имеет место следующая теорема. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд сходится в точке В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно (см. 5. В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена: . Теорема Абеля. В точках общего утверждения о сходимости сделать 1.

Недавно написанные: